微分方程與動態系統

  動態系統為自然界各種物理系統、生態系統、工程系統隨時間演化之描述。這些系統通常是以微分方程來表現,包含常微分方程(ordinary differential equations),偏微分方程(partial differential equations),泛函微分方程(functional differential equations)等。另有離散時間(discrete time)之動態系統與新近發展之網格型動態系統(lattice dynamical system)等。

  動態系統現今已成為一跨領域(interdisciplinary)的科學,其起源可追自十七世紀中期,牛頓描述基本運動定律與喀普勒(Kepler's)行星運轉定律之時。所以動態系統與微分方成源自物理。至今其與物理的關連性仍然相當密切。舉例來說,美國太空總署在2001年有一收集太陽塵之飛行任務─Genesis Discovery Mission,集合了加州理工學院JPL實驗室與歐洲等地之數學家、天文物理學家來設計一特殊節省燃料之軌道,在這個工作中以古典力學為基礎,利用對n-體問題之瞭解,運用數學分析與電腦輔助計算來進行。

  另一方面,在生態學、生物數學與電路理論之發展上,動態系統也扮演了很重要的角色。例如,1963年諾貝爾生理醫學獎得主Hodgkin and Huxley 之工作即為探討生物細胞之訊號傳遞,其所做之研究內容即為微分方程解之分析與計算及其在生物學現象之解釋。而電路理論之具體架構亦是利用微分方程來呈現。這幾年來,本系幾位老師在細胞型類神經網路的數學理論研究上頗有進展;在隱密訊號傳遞與同步化理論上亦展開積極的研究工作。

  近年來之熱門話題,混沌現象(chaos)與碎形(fractals)與動態系統有密切關連。混沌為一自然現象,瞭解、掌握盡而利用此一現象,將是新世紀科技領域的重要進展。本系有幾位老師目前在混沌現象的數學分析與計算亦投入相當之努力;包含離散時間之動態系統、網格型系統混沌現象之數學描述,混沌形成之機制,及混沌之控制與同步化(synchronization)。所討論的方程式來自於電路理論、光電效應、生態模型、流體力學等。

老師的研究興趣

林松山 老師

非線性橢圓型偏微分方程:

  1.   對稱破壞問題:對稱破壞,是造成自然現象得以形形色色、多采多姿的重要機制。對稱的偏微分方程在對稱區域,何已失去完全對稱的解而僅保留部分對稱的解,一直是個重要課題。本研究綜合變分法(研究能量變化)及分枝理論(多重解如何產生),證明了對稱解失去更多的穩定性而由能量更低且較穩定的部分對稱解所取代。由此闡明了多重解的產生機制。
  2.   多重解及奇異解問題:偏微分方程的非線性增長程度及區域幾何和拓樸性質,影響了解的存在及多重性。本研究在此問題有一系列的重要成果。又研究超臨界時奇異解的存在性並用以刻畫多重解的可能性。此結果連結了奇異解及多重正則解,深富啟發性。
  3.   區域奇異擾動問題:當區域做了激烈的擾動,如挖個小洞及細縫,此時區域的拓樸及幾何性質有了激烈變化。線性固有值及固有函數問題,已有幾何學家及偏微分方程學家從事多年研究富有成果,但非線性問題,依舊相當困難。在次臨界情況下,本研究證明解必均勻有界,故存在。臨界及超臨界的問題尚有待突破。

非線性橢圓型偏微分方程:

  1.   星球穩定性問題:研究描述氣態星球的尤拉波桑非線性偏微分方程。計算其固有值從而嚴格證明氣態星球的穩定性問題,證實天文學家多年來的猜測。
  2.   燃燒爆炸問題:有關氣體的燃燒及爆炸問題,在科學、工程及數學一直是很重要但困難的問題。本論文研究黎曼問題有關燃點、束縛能等相關的關係式,分析各種穩定的爆炸波型,並找出發生爆炸的參數值。
  3.   相對論尤拉方程式:此方程用來描述一維相對論氣體動力學,並包含了真空態。古典氣體動力學的弱解存在性問題在八0年代已解決。本研究引進廣義的尤拉波桑達布斯方程的積分核,經過許多繁複的計算及細膩的估計從而證明了弱解的存在性。對三維球對稱問題,尚待解決。

林文偉 老師

石至文 老師

李明佳老師

林琦焜 老師

  1.   目前在奈米研究上極為熱門的quantum hydrodynamic equation:利用modulation energy的方法證明當Debye length很小時之效應基本上可由不可壓縮的Euler方程來逼近。這對於實際上的應用有極大之幫助,也說明了量子力學與古典力學間的密切關係。
  2.   均質化理論:是研究奇異極限的好方法。我們利用這方法探索了一系列相關的微分方程,如Dirac系統、二階微分方程3×3聯方方程。但限於其結構,目前仍僅討論一些特殊方程。這方面的工作主要是引進Young測度,還有複變函數論與泛函分析的技巧來研究非局部效應。
  3.   流體力學:對Korteweg、Lubrication、shallow water system 等方程作系統性的研究。這類方程可視為compressible Navier-Stokes方程之推廣,但是多了三階微分項,使得研究增添了不少的困難度與挑戰性。所以在極低的條件限制下,得出該方程的全域存在性,也因此推廣了P. L. Lions之前所得Compressible Navier-Stokes方程的global weak solution之重要結果。其次為研究compressible Navier-Stokes equation for polytropic fluid。另外,想要瞭解量子力學與古典力學之間的關係,其中最著名的事WKB方法。其他的看法則是藉由Kinetic equation,並引進Wigner變換與Wigner測度等目前最新的數學方法。

莊重 老師

李榮耀 老師

陳福祥 老師

張書銘 老師

  在「動態系統」上,本人的研究趣向是在「動態系統之混沌現象與其應用」上,目前的研究成果可分為兩類,(I)混沌現象之發掘;(II)混沌現象應用於保密通訊。於混沌現象之發掘中,是關於混沌現象之發掘的工作,又有三種研究型態,一種是運用數學理論嚴格證明混沌現象的存在;另一種是藉由數值模擬的方式找尋並佐證混沌現象之存在,最後一種是在實驗室直接將混沌現象製造並呈現出來。於混沌現象應用於保密通訊中,是藉由混沌動態系統的混亂現象,實地的發展出一通訊系統架構,應用於保密通訊上。此保密通訊架構,不同於傳統的編碼,亦非屬最大質數加密法之保密理論。

余啟哲 老師