數論、幾何與分析

  泛函分析(Functional Analysis)它的起源來自對微分與積分方程的研究,是20世紀初形成的一個數學分支隸屬於分析學,主要係探討無窮維空間之間的映射以及它們各種的解析結構拓樸結構和幾何結構,它綜合的運用分析、代數、幾何的觀點與方法研究、分析數學中的許多問題。 泛函分析自身的主要研究內容有算子譜理論、巴拿赫代數、拓樸線性空間理論和廣義函數論,它是一門極富創造性的領域,它的創造性又極大地推動和豐富了其它領域的發展,如:偏微分方程、機率論、調和分析等等。到了現代它已被廣泛地應用到數學的各個分支以及成為物理、化學、工程理論等某些分支的重要工具。

  數論是最古老的兩個數學分支(算術與幾何)之一。 古典的數論是專門研究整數的性質,例如質數的分布與方程式整數解的問題。 這類的問題往往形式上十分初等(如哥德巴赫猜想與費馬最後定理),但事實上卻要用到許多艱深的數學知識。這一領域的研究從某種意義上推動了數學的發展,催生了大量的新思想和新方法。

近代的數論,根據所使用的工具大體上可以分為解析數論與代數數論。 另一方面,不論是動態系統、幾何,表現理論、計算等等領域也都在數論上面有非常豐富的結果。 誠如高斯所言:「數學是科學的皇后,數論是數學的皇后。」

  “幾何”來自希臘文,原意是測地術。在古代,人們在生活中接觸各種平面、直線、方、圓、長、短等概念,逐步認識了這些概念跟數量間的關係,成為幾何學的基本概念。 幾何學是數學中最古老的分支之一,也是在數學這個領域裡最基礎的分支之一。 兩千多年前古希臘幾何學家柏拉圖、亞里士多德與歐幾里得把邏輯學的思想方法引入了幾何,將幾何整理成一門用公理法建立起演繹的理論,幾何成為一個有嚴密的理論系統和科學方法的學科。 近代物理學家愛因斯坦也是精通幾何學。在狹義相對論中,愛因斯坦應用幾何學的思想方法,把整個理論建立在兩條公理上:相對原理和光速不變原理,開創他的研究工作。 因此,凡符合公理系統的元素都能構成幾何學,每一個幾何學的直觀形象不止只有一個,幾何圖形都只是一種直觀形象,在研究幾何學的時候,並不是絕對必要的。 就此,幾何學研究的對象更加廣泛、更為抽象。這些對近代幾何學有深遠的影響。

老師的研究興趣

楊一帆 老師

下載楊一帆老師研究興趣檔案(英文)。

  目前主要的研究興趣在模函數(modular functions)及其在數論裡的應用。模函數論是當今數學裡相當熱門的研究課題,其中一個主要原因是一個模函數的傅立葉係數含有相當豐富的算術內涵。比如說,Andrew Wiles即藉由這些傅立葉係數的性質證明出費馬最後定理。除了其在數論裡的應用之外,模函數也與相當多的數學領域相關,比如說代數幾何、數學物理、組合學等等。

  除了古典的模函數之外,楊一帆老師也計畫將研究領域擴展至Siegel modular forms。其中一個主要的研究動機在於Siegel modular forms可能與一些物理弦論裡出現的Calabi-Yau manifolds有關。如果能將它們之間的關聯研究清楚,也許會對一些物理及幾何上的問題的研究有所幫助。

符麥克 老師

  我的研究領域為『賦距數論』一門。更進一步地,探討在實數體下的Diophantine逼近,positive characteristic體下的Diophantine逼近,以及連分數賦距論。

  近幾年,我主要的研究方向著重在函數體下的Diophantine逼近。我們關注在一些古典的問題,例如利用有理數來逼近無理數等,並且得到一些結論如0-1法則、大數法則、重對數定律、中央極限定理及不變性原理等。而我目前在做的工作則是將這些理論推廣到非齊次或是同步Diophantine逼近。

許義容 老師

  我的研究興趣是黎曼流形上的一些問題。在特殊子流形方面,主要探討包含極小曲面與常曲率子流形在內之剛性特徵與第二基本式相關之幾何不等式間的關係。另Laplace算子之固有值、預設均曲率等都是有趣的問題。 最近興趣由調和映射到Willmore 曲面,試圖瞭解子流形在演化過程中幾何與拓樸的改變。

王國仲 老師

  目前的研究可以分成兩部分,第一部份是從2003年延續到現在的研究工作,主要是探討矩陣下界估計值的問題,這方面的研究主要是延續E.T. Copson, G.H. Hardy, G. Bennett 等人在矩陣算子下界估計方面的研究。

  第二部分是算子數值域的研究,這是我目前主要的研究工作,算子數值域是近年來想當活耀的課題,此領域起源於上個世紀初由Toeplitz和Hausdorff證明出任一算子之數值域皆為平面上的凸集合。數值域的研究主要是在探討它的拓樸和幾何結構與本身算子的關係,它們的研究涉及算子理論、巴拿赫代數、矩陣理論、幾何理論、數值分析等許多理論數學及應用數學的分支,同時結果也應用到擾動理論、數值分析、量子物理等領域。

康明軒 老師

  我主要的研究興趣在數論、表現理論與其應用。 目前主要在研究圖與高維複體(complex)上Zeta 函數及應用。古典的Ihara zeta 函數是二維流形上Selberg zeta function 在padic 上的類比,與代數多多樣體的 zeta 函數有許多相似性。 一般來說,給定一個p-adic 的可約李群的離散子群,我們可以適當的定義一個複體,使得我們可以透過複體上的幾何性質來研究這個子群的性質。 複體上的 zeta 函數是複體上測地線的計數函數,他與可約李群上的L-函數,Hecke operator 與上同調群都很深的牽連。